فعالیت ۱ تا ۴ بررسی پیوستگی و حد توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
نمودار تابع $f$ به صورت روبهرو رسم شده است.
الف) تابع $f$ در کدام یک از نقاط مجموعه $\{۱, ۲, ۲.۵, ۳, ۴\}$ ناپیوسته است.
ب) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^+} f(x)$ برقرار است؟
پ) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^-} f(x)$ برقرار است؟
ت) در کدام نقطه $a$ از مجموعه $\{۱, ۲, ۲.۵, ۳, ۴\}$ تساوی $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ برقرار است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۴ صفحه ۱۴۸ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **پیوستگی** (Continuity) را در نقاط مختلف از روی نمودار بررسی میکند. تابع در نقطه $a$ پیوسته است اگر سه شرط برقرار باشد: $\mathbf{f(a)}$ تعریف شده باشد، $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x)}$ موجود باشد و $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) = f(a)}$ باشد. 🧠
---
### الف) نقاط ناپیوستگی
ناپیوستگی در نقاطی رخ میدهد که نمودار شکسته، پرش کرده یا سوراخ داشته باشد. نقاط مورد بررسی $\mathbf{\{۱, ۲, ۲.۵, ۳, ۴\}}$ هستند.
* **$x = ۱$**: نمودار در $x=۱$ **شروع** میشود. این نقطه یک نقطه مرزی است (که ناپیوستگی در بازه بسته را بررسی نمیکنیم، اما حد راست در آن تعریف شده است).
* **$x = ۲$**: نمودار دارای **پرش** است ($\lim^- \ne \lim^+$).
* $\lim_{x \to ۲^-} f(x) = ۲.۵$
* $\lim_{x \to ۲^+} f(x) = ۳$
* **$x = ۲.۵$**: نمودار **پیوسته** است (حد و مقدار تابع برابرند).
* **$x = ۳$**: نمودار دارای **حفره (سوراخ)** است. $f(۳)$ تعریف نشده است (اگرچه حد وجود دارد).
* **$x = ۴$**: نمودار در $x=۴$ **پایان** مییابد. این نقطه یک نقطه مرزی است، اما $\lim_{x \to ۴^-} f(x) = ۲.۵$ و $f(۴)$ تعریف نشده است.
**نتیجه**: تابع $f$ در نقاط $\mathbf{x = ۲}$ (پرش) و $\mathbf{x = ۳}$ (سوراخ) ناپیوسته است. نقطه $x=۴$ نیز در آنجا ناپیوسته است زیرا حد آن موجود نیست.
$$\mathbf{\text{نقاط ناپیوسته: } \{۲, ۳\}}$$
---
### ب) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^+} f(x)$ برقرار است؟
* **$\mathbf{f(۳)}$**: در $x=۳$، نمودار دارای دایره توخالی است. پس $f(۳)$ **تعریف نشده** است.
* **$\mathbf{\lim_{x \to ۳^+} f(x)}$**: وقتی $x$ از راست به ۳ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲.۵}$ (نقطه توخالی) نزدیک میشود.
**نتیجه**: چون $f(۳)$ تعریف نشده است، تساوی $\mathbf{برقرار \text{نیست}}$ (شرط اول پیوستگی نقض شده است).
---
### پ) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^-} f(x)$ برقرار است؟
* **$\mathbf{f(۳)}$**: تعریف نشده است.
* **$\mathbf{\lim_{x \to ۳^-} f(x)}$**: وقتی $x$ از چپ به ۳ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $\mathbf{y = ۲.۵}$ (نقطه توخالی) نزدیک میشود.
**نتیجه**: چون $f(۳)$ تعریف نشده است، تساوی $\mathbf{برقرار \text{نیست}}$ (همانند قسمت ب).
---
### ت) برقراری تساوی $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (پیوستگی از راست)
ما باید نقاطی را بیابیم که در آنها $\mathbf{f(a)}$ تعریف شده باشد و $\mathbf{\lim_{x \to a^+} f(x)}$ برابر با $\mathbf{f(a)}$ باشد.
| $a$ | $\mathbf{f(a)}$ | $\mathbf{\lim_{x \to a^+} f(x)}$ | تساوی برقرار است؟ (شرط پیوستگی از راست) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **۱** | $\mathbf{۱}$ (پر) | $\mathbf{۱}$ | $\checkmark$ (پیوسته از راست) |
| **۲** | $\mathbf{۲.۵}$ (پر) | $\mathbf{۳}$ | $\times$ (پرش) |
| **۲.۵** | $\mathbf{۲.۵}$ (پیوسته) | $\mathbf{۲.۵}$ | $\checkmark$ (پیوسته) |
| **۳** | تعریف نشده | $\mathbf{۲.۵}$ | $\times$ (تعریف نشده) |
| **۴** | تعریف نشده | تابع از $x=۴$ به راست تعریف نشده است. (حد راست معنی ندارد) | $\times$ |
**نتیجه**: تساوی $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ در نقاط $\mathbf{a = ۱}$ و $\mathbf{a = ۲.۵}$ برقرار است.
