پاسخ فعالیت صفحه 148 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ تا ۴ صفحه ۱۴۸ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت مفهوم **پیوستگی** (Continuity) را در نقاط مختلف از روی نمودار بررسی می‌کند. تابع در نقطه $a$ پیوسته است اگر سه شرط برقرار باشد: $\mathbf{f(a)}$ تعریف شده باشد، $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x)}$ موجود باشد و $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) = f(a)}$ باشد. 🧠 --- ### الف) نقاط ناپیوستگی ناپیوستگی در نقاطی رخ می‌دهد که نمودار شکسته، پرش کرده یا سوراخ داشته باشد. نقاط مورد بررسی $\mathbf{\{۱, ۲, ۲.۵, ۳, ۴\}}$ هستند. * **$x = ۱$**: نمودار در $x=۱$ **شروع** می‌شود. این نقطه یک نقطه مرزی است (که ناپیوستگی در بازه بسته را بررسی نمی‌کنیم، اما حد راست در آن تعریف شده است). * **$x = ۲$**: نمودار دارای **پرش** است ($\lim^- \ne \lim^+$). * $\lim_{x \to ۲^-} f(x) = ۲.۵$ * $\lim_{x \to ۲^+} f(x) = ۳$ * **$x = ۲.۵$**: نمودار **پیوسته** است (حد و مقدار تابع برابرند). * **$x = ۳$**: نمودار دارای **حفره (سوراخ)** است. $f(۳)$ تعریف نشده است (اگرچه حد وجود دارد). * **$x = ۴$**: نمودار در $x=۴$ **پایان** می‌یابد. این نقطه یک نقطه مرزی است، اما $\lim_{x \to ۴^-} f(x) = ۲.۵$ و $f(۴)$ تعریف نشده است. **نتیجه**: تابع $f$ در نقاط $\mathbf{x = ۲}$ (پرش) و $\mathbf{x = ۳}$ (سوراخ) ناپیوسته است. نقطه $x=۴$ نیز در آنجا ناپیوسته است زیرا حد آن موجود نیست. $$\mathbf{\text{نقاط ناپیوسته: } \{۲, ۳\}}$$ --- ### ب) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^+} f(x)$ برقرار است؟ * **$athbf{f(۳)}$**: در $x=۳$، نمودار دارای دایره توخالی است. پس $f(۳)$ **تعریف نشده** است. * **$athbf{\lim_{x \to ۳^+} f(x)}$**: وقتی $x$ از راست به ۳ نزدیک می‌شود، نمودار به ارتفاع $athbf{y = ۲.۵}$ (نقطه توخالی) نزدیک می‌شود. **نتیجه**: چون $f(۳)$ تعریف نشده است، تساوی $\mathbf{برقرار \text{نیست}}$ (شرط اول پیوستگی نقض شده است). --- ### پ) آیا تساوی $f(۳) = \lim_{x \to ۳^-} f(x)$ برقرار است؟ * **$athbf{f(۳)}$**: تعریف نشده است. * **$athbf{\lim_{x \to ۳^-} f(x)}$**: وقتی $x$ از چپ به ۳ نزدیک می‌شود، نمودار به ارتفاع $athbf{y = ۲.۵}$ (نقطه توخالی) نزدیک می‌شود. **نتیجه**: چون $f(۳)$ تعریف نشده است، تساوی $\mathbf{برقرار \text{نیست}}$ (همانند قسمت ب). --- ### ت) برقراری تساوی $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (پیوستگی از راست) ما باید نقاطی را بیابیم که در آن‌ها $\mathbf{f(a)}$ تعریف شده باشد و $\mathbf{\lim_{x \to a^+} f(x)}$ برابر با $\mathbf{f(a)}$ باشد. | $a$ | $\mathbf{f(a)}$ | $\mathbf{\lim_{x \to a^+} f(x)}$ | تساوی برقرار است؟ (شرط پیوستگی از راست) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $\mathbf{۱}$ (پر) | $\mathbf{۱}$ | $\checkmark$ (پیوسته از راست) | | **۲** | $\mathbf{۲.۵}$ (پر) | $\mathbf{۳}$ | $\times$ (پرش) | | **۲.۵** | $\mathbf{۲.۵}$ (پیوسته) | $\mathbf{۲.۵}$ | $\checkmark$ (پیوسته) | | **۳** | تعریف نشده | $athbf{۲.۵}$ | $\times$ (تعریف نشده) | | **۴** | تعریف نشده | تابع از $x=۴$ به راست تعریف نشده است. (حد راست معنی ندارد) | $\times$ | **نتیجه**: تساوی $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ در نقاط $\mathbf{a = ۱}$ و $\mathbf{a = ۲.۵}$ برقرار است.